流体江湖风云录- 1 – 东邪柯尔莫哥洛夫

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作者 | 潘玉林(麻省理工学院机械系博士生)

“老邪”二字,或有调侃,绝无不敬。

柯老邪在数学上的造诣,当世只有亨利·庞加莱(Jules Henri Poincaré)、大卫·希尔伯特(David Hilbert)、约翰·冯·诺依曼(John von Neuman)等寥寥数人可与比肩。而其研究之精深、领域之广博、构思之绝妙,或无一人可出其右。

他理论与应用双修,学识纷繁庞杂,遍及概率论,实分析,泛函分析,拓扑学,构造性逻辑学,算法信息论,湍流,经典力学,动力系统,遗传学,气象学,弹道学,金属结晶学等领域,凡有涉足,必有所创,其中不乏众多奠基性的成果。更兼他文理皆通,对历史,哲学,语言学,俄国诗歌韵律学等诸多学科都有着系统的研究和独特的见解。作为战斗民族的一员,他甚至在体魄和运动上也天赋过人——曾完成40公里着短裤越野滑雪的壮举。

柯老邪平生所学,实在浩如烟海,比之黄老邪亦不遑多让。而其作风品性,更为难能可贵。柯老邪行事,坚毅果决,挥毫洒脱。虽无黄老邪之怪诞乖张,却存魏晋之遗风,携汉唐之豪侠,具田园之逸气。在斯大林的高压治下,他醉心学术,潜心教育,不问党政。而当德军兵临城下,存亡危机之时,他毅然转入弹道学及火炮自动控制的统计学研究,使万千苏联军民受益良多。在对外交流封闭的岁月里,他与众弟子啸聚东方苏俄,鼎足美欧学派,基础研究带来的工业腾飞让西方不敢小觑,世人为之动容。而当他的著述最终为西方所了解之后,众学派纷纷为之震惊。1963年在第比利斯召开的概率统计会议上,来自美国的统计学家雅各布·沃尔夫维茨(Jacob Wolfowitz)甚至发出这样的疑问:“我来苏联的一个特别的目的是确定柯尔莫哥洛夫到底是一个人,还是一个研究机构。”

柯老邪之成就,实难备述,而在湍流上的贡献,也的确只算得上冰山一隅。如果我们只谈湍流,未免显得格局狭小,且不妨从柯老邪的少年轶事说起吧。

声名鹊起

柯老邪1903年出生于莫斯科东南的小镇坦波夫。尽管他的数学天赋从童年时便显露无遗,但他却一直对俄国历史颇为着迷。自1920年入莫斯科大学以来,他除了研习数学,还积极参与到历史学教授巴克卢辛·维拉蒂米洛维奇(Bakhrushin Vladimirovich)所组织的历史学研讨会当中。很快,柯老邪便完成了人生中第一篇历史学论文,并将其交给了巴克卢辛。此文以“15世纪诺夫哥洛德地区的财产管理(The landholding in the Novgorod in the 15th century)”为题,开创性地将数学统计的方法引入到了历史学研究中。巴克卢辛读后连连称奇,但从其历史学究的角度,他说出了如下论断:

“你为你的论文提供了一种证明,在你所研究的数学上这也许足够了,但我们历史学家则需要至少十种证明。(You have supplied one proof of your thesis, and in the mathematics that you study this would perhaps suffice, but we historians prefer to have at least ten proofs.)”

柯老邪少年意气,岂容他人置喙。正如他自己所说,“我从此决定进入科学领域,一个证明足以得到最终结论。(I have decided to go into science, in which for a final conclusion one proof is sufficient.)” 历史学界或许因此失去了一位天才学者,但数学界却得到了这位震古烁今的全才大师。

在柯老邪之后成就斐然的人生中,他数次对自己未能在历史学上有所建树深表遗憾,但事实却并非如此。在他辞世一年之后,俄国著名历史学家瓦伦丁·亚宁(Valentin Yanin)从柯老邪的手稿中发掘出了这篇关于俄国中世纪历史的遗世之作。直至此时,这篇将统计方法应用于这一历史领域的开先河之作才得到历史学界的重视。亚宁教授在评述中写道:“作为其研究方法的基础,作者提出了概率理论的应用,这一方法从未被运用到诺夫哥洛德地区财产注册的研究上,而且直至今日也未被广泛采纳。历史学界的这一遗憾正是源于学者们对柯尔莫哥洛夫七十年前这篇论文的忽视。(As a basis for the method, the author put forward the theory of probability, which had not been applied to Novgorod land-registers before and is unfortunately not so applied now due to the ignorance of researchers on the subject of Kolmogorov’s work of almost seventy years ago.)” 在亚宁教授的主持下,柯老邪的这篇文章也在三年后正式发表,终成经典。

在此等神迹面前我们只能望洋兴叹。皓月之光,岂萤火所能争辉?

让我们把时间轴退回到1929年。时光如梭,柯老邪在莫斯科大学已历十年寒暑。他师从数学分析学大师尼古拉·卢津(Nikolai Luzin),尽得其所传。他根基深厚又兴趣广博,循序渐进又触类旁通。值此艺成毕业之际,柯老邪任督二脉豁然贯通,已隐隐显出一代宗师之风范。

此时的苏联,尽管斯大林的独裁统治已初见端倪,但与西欧的关系还未向后来那般剑拔弩张。柯老邪也得以在1930年访学德法。在哥廷根与巴黎高师的校园里,柯老邪与理查德·库伦(Richard Courant)研讨极限理论,与赫尔曼· 外尔(Hermann Weyl)论道构造逻辑,与亨利·勒贝格(Henri Lebesgue)切磋积分分析。一年之间,柯老邪功力日盛,学贯东西,已渐入无往不利之境界。闲暇时,他徜徉于巴黎塞纳河畔,流连于阿尔卑斯山间,仰望浮云,俯视流水,在阳光的沐浴下继续着对数学理论的思考。

量子论说:世间万物是概率性的。柯老邪与自然的亲密接触或许也促成了他对于概率理论的思考。从中世纪开始,以欧洲职业赌徒为契机,概率论的研究逐渐开始被数学界所关注。几个世纪以来,包括高斯,拉普拉斯,伯努利等数位大师为其添枝加叶,陆续注入着新鲜的血液。然而,由于概率论尚未形成一个理论上的公理体系,这些零星的火种犹如无本之木;贝朗特悖论横行一时,概率论也始终徘徊在主流数学殿堂之外。

1931年,柯老邪返回苏联,受聘莫斯科大学教授。在之后的两年里,他对概率论理解日深,终于悟出以测度为基础的严格公理体系。他以“概率论基础 (Foundations of the Theory of Probability)”为题著书立说,一经问世便得到天下公认,为现代概率论的发展打下了坚实的基础。

柯老邪之于概率论,正如牛顿之于经典力学,三丰之于太极神功,承先启后,继往开来。

在柯老邪的书中,他对一个随机过程x(t)进行了严格定义和系统研究,并将其推广到t为多维变量时的随机场情况。数学理论既已完备,为其寻找物理应用便成为了柯老邪新的目标。如果说对于随机过程的应用带来了柯老邪在布朗运动上的深刻理解,那么湍流场则是随机场理论练兵的不二之选,而这也正是柯老邪进军湍流领域的初衷。

未解之谜

湍者,急且乱也。

自从奥斯鲍恩·雷诺(Osborne Reynolds)于1883年在管流实验中观察到湍流以来,众多数学物理大师开始试图从理论上理解这种现象背后的规律。然而,湍流犹如物理界的一座坚城壁垒,任众学派船坚炮利,亦无法动其根基。洛伦兹,索末菲折戟沉沙,海森堡,冯诺依曼举步维艰。直至今日,湍流的理论体系仍尚未完成,正如美国著名物理学家理查德·费曼(Richard Feynman)所说:湍流,是“经典物理最后的未解之谜(the most important unsolved problem of classical physics)”。

然而,雷诺的实验结果是如此的无可辩驳,湍流现象也在自然界中随处可见。或管道流动,或物体绕流,或凭虚御风,或潮起浪涌,或星沉轨动,湍流无处不在地雕刻着自己的印记。在这些错综复杂,涡旋丛生的流场中,流体质点的运动犹如鬼魅,它们无迹可循,不可预测,无法重复,牵一发而动全身。在这些看似杂乱无章的运动的背后,是否存在一些普遍适用的物理规律?这正是湍流研究的核心问题。

湍流问题的本质是物理的,也是数学的。众学派始终相信,湍流的解答可以从流体力学基本方程纳维-斯托克斯方程(Navier-Stokes Equation)中找到。如果一位数学天才可以找到此方程在任意边界条件下的解析解,湍流问题或许会迎刃而解。然而时至今日,纳维-斯托克斯方程解析解的相关问题仍然作为克雷数学研究所的七大千禧年问题之一悬而未决。

此路不通,众学派只能另觅他径。由于流场中单个质点运动的不确定性,所谓的普适物理规律只能从概率统计学意义上来寻找。柯老邪显然也很早便认识到了这一点。在他1985年出版的专著“数学与力学(Mathematics and Mechanics)”中,柯老邪回忆道:“我在三十年代后期兴趣转入了液体与气体的湍流研究。从研究伊始我便意识到此领域的主要数学工具是有多个变量的随机函数(即随机场)理论,而这在当时也刚刚被建立起来。(I took an interest in the study of turbulent flows of liquids and gases in the late thirties. It was clear to me from the very beginning that the main mathematical instrument in this study must be the theory of random functions of several variables (random fields) which had only then originated.)”

随机场,这正是概率理论的用武之地。而此时的柯老邪,在概率论上的造诣已独步天下,不做第二人想。

本文首发于《MIT科研范》,《知识分子》获得作者授权刊发,内容略作编辑。

作者简介:

潘玉林,MIT机械系博士生,在Vortical Flow Research Lab从事流体力学方面的研究工作。研究领域包括理论与计算流体力学,非线性波浪力学,弱湍流理论,螺旋桨与机翼理论。





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